Фактически собираются не подписи, а голоса. Закона, как я понимаю, вообще никакого нет, а есть брошенная где-то Путиным фраза, что если 100000 человек выступят с какой-то инициативой, то она должна быть рассмотрена.

Вот тут написано как собственно осуществляется сбор этих голосов:
#давайраспускайся!